Simulasi Persamaan Schrödinger Bergantung Waktu dengan Metode Crank–Nicolson yang Dimodifikasi

Simulation of the Time-Dependent Schrödinger Equation Using a Modified Crank–Nicolson Method

Penelitian ini mengembangkan pendekatan numerik untuk persamaan Schrödinger satu dimensi dengan memodifikasi metode Crank–Nicolson melalui ekspansi Taylor pada operator evolusi waktu dan metode central difference orde tinggi. Efektivitas metode diuji pada dua kasus fundamental, yaitu osilator harmonik dan tunneling kuantum. Hasil menunjukkan peningkatan akurasi pada orde tinggi tanpa memperbesar resolusi, dengan koefisien determinasi R^2 mendekati 1 pada orde ≥ 8. Pada simulasi tunneling, akurasi tinggi tercapai bahkan pada orde 8. Metode ini terbukti sekitar 3 kali lebih cepat dibandingkan split-step Fourier dan lebih efisien dari Runge–Kutta orde tinggi. Pendekatan ini berpotensi diperluas ke kasus dua dan tiga dimensi, serta dapat diterapkan pada persamaan Dirac, Ginzburg–Landau, dan Gross–Pitaevskii. Berdasarkan kemampuan menangani sistem kuantum dengan akurasi tinggi, pendekatan ini relevan untuk simulasi dengan potensial seperti Lennard–Jones, serta implementasi pada industri seperti pengembangan transistor, resonant tunneling device, scanning tunneling microscope, dan desain material baru.

This study develops a numerical approach for the one-dimensional Schrödinger equation by modifying the Crank–Nicolson method through a Taylor expansion of the time evolution operator and the use of high-order central difference schemes. The method’s effectiveness is evaluated in two fundamental cases: the quantum harmonic oscillator and tunneling phenomena. Results demonstrate a significant increase in accuracy at higher orders without increasing resolution, with the coefficient of determination R^2 approaching 1 for orders ≥ 8. For the tunneling case, high accuracy is achieved even at order 8. The method is approximately three times faster than the split-step Fourier approach and more efficient than high-order Runge–Kutta methods. This approach shows strong potential for extension to two- and three-dimensional problems and is applicable to equations such as the Dirac, Ginzburg–Landau, and Gross–Pitaevskii equations. Given its ability to accurately handle quantum systems, the method is relevant for simulations involving potentials such as the Lennard–Jones potential and holds promise for industrial applications, including the development of transistors, resonant tunneling devices, scanning tunneling microscopes, and novel material design.