Analisis Dinamik Model Ekologi dengan Efek Ketakutan pada Mangsa dan Makanan Tambahan pada Pemangsa Menggunakan Respon Fungsional Rasio Dependent

Dynamic Analysis of an Ecological Model with Fear Effect on Prey and

Additional Food for Predator Using Ratio-Dependent Functional Response

Penelitian ini membahas mengenai analisis dinamik model ekologi dengan efek ketakutan pada mangsa dan makanan tambahan pada pemangsa menggunakan respon fungsional rasio dependent. Efek ketakutan dapat menurunkan laju pertumbuhan mangsa, sedangkan makanan tambahan memungkinkan pemangsa bertahan hidup meskipun populasi mangsa rendah. Tahapan yang dilakukan dalam analisis dinamik meliputi, mencari titik kesetimbangan, melakukan linearisasi sistem, dan melakukan analisis kestabilan titik kesetimbangan menggunakan nilai eigen. Simulasi numerik digunakan untuk mengkonfirmasi hasil analitik dan perilaku analisis sistem melalui ilustrasi grafis Matcont dan Pplane. Nilai parameter menggunakan populasi Rusa Besar (ELF) sebagai mangsa dan Serigala \textit{(Canis Lupus)} sebagai pemangsa. Hasil analisis kestabilan dari model diperoleh empat titik kesetimbangan, yaitu $E_0=(0,0)$ adalah \textit{nodal source} tidak stabil, $E_1=(0,\frac{nA(c\gamma - e\alpha)}{em})$ dan $E_2=(\frac{r-a}{b},0)$ adalah \textit{saddle} tidak stabil, dan $E_3=(x^*,y^*)$ adalah \textit{spiral sink} stabil. Kontinuasi parameter efek ketakutan pada pemangsa $(f)$ dan makanan tambahan $(A)$ pada pemangsa  diperoleh bifurkasi transkritikal. Bifurkasi transkritikal terjadi apabila terdapat persilangan dari dua cabang titik kesetimbangan dari nodal sink stabil menjadi saddle tidak stabil, begitu pula sebaliknya. Hasil analisis menunjukkan bahwa baik peningkatan nilai makanan tambahan $A$ maupun efek ketakutan $f$ yang melampaui ambang bifurkasi akan mengarahkan sistem menuju titik kesetimbangan $E_1$ yang stabil. Dalam kondisi ini, populasi pemangsa tetap bertahan meskipun populasi mangsa menurun drastis atau bahkan mendekati kepunahan. Hal ini mengindikasikan bahwa keberlangsungan hidup pemangsa tidak sepenuhnya bergantung pada ketersediaan mangsa, melainkan juga dipengaruhi oleh besarnya makanan tambahan dan tingkat ketakutan mangsa terhadap pemangsa.

This study discusses the dynamic analysis of an ecological model incorporating the fear effect on prey and supplemental food for predators using a ratio-dependent functional response. The fear effect reduces the prey’s growth rate, while supplemental food enables the predator to survive even when prey density is low. The dynamic analysis includes finding equilibrium points, linearizing the system, and analyzing the stability of each equilibrium point using eigenvalues. Numerical simulations are conducted to confirm the analytical results and to illustrate the system’s behavior graphically using \textit{Matcont} and \textit{Pplane}. Parameter values are based on the population of Elk (ELK) as prey and Wolves (\textit{Canis lupus}) as predators. The stability analysis yields four equilibrium points: $E_0=(0,0)$ is an unstable nodal source, $E_1=(0,\frac{nA(c\gamma - e\alpha)}{em})$ and $E_2=(\frac{r-a}{b},0)$ are unstable saddles, and $E_3=(x^*,y^*)$ is a stable spiral sink. Parameter continuation of the fear effect on prey $(f)$ and supplemental food $(A)$ for the predator reveals the existence of transcritical bifurcation. A transcritical bifurcation occurs when two branches of equilibrium points intersect, causing a transition from a stable nodal sink to an unstable saddle point, and vice versa. The results show that increasing either the level of supplemental food $A$ or the fear effect $f$ beyond the bifurcation threshold will lead the system to a stable equilibrium point $E_1$. In this condition, the predator population can persist even when the prey population declines drastically or approaches extinction. This indicates that predator survival is not entirely dependent on prey availability but is also influenced by the magnitude of supplemental food and the prey’s fear level.