Pelabelan Harmonis Ganjil Kuat Beberapa Kelas Graf

Strong Odd Harmonious Labeling of Some Graphs

Misalkan graf G dengan q sisi. Sebuah pelabelan harmonis ganjil pada G adalah sebuah fungsi injektif f: V(G) → {0,1,2,…,2q-1} sedemikian hingga fungsi terinduksif^*:E(G) →{1,3,5,…,2q-1}  dengan f^* (uv)=f(u)+f(v) merupakan fungsi bijektif. Jika kodomain fungsi f adalah { 0,1,2,…,q } maka f disebut pelabelan harmonis ganjil kuat pada G. Misalkan sikel C_m  dan sikel C_n  saling lepas. Misal x∈ V(C_m)dan y∈ V(C_n ). Graf G dibentuk dari C_m  dan C_n  dengan ”menghimpitkan/menyatukan” titik x dan titik y dilambangkan dengan       G = C_m □(□)C_n. Misal kl∈ E(C_m) dan mn∈ E(C_n). Graf G dibentuk dari C_m  dan C_n  dengan ”menghimpitkan/menyatukan” sisi kl dan sisi mn dilambangkan dengan G = C_m∘ C_n. Pada skripsi ini dibuktikan bahwa sikel C_n  harmonis ganjil kuat jika n≡ 0 (mod4). Ditunjukkan juga bahwa graf bipartit komplit K_(2,n)  adalah graf harmonis ganjil kuat untuk n≥1. Selanjutnya, ditunjukkan jika G_1  dan G_2  graf harmonis ganjil kuat, maka G_1∘G_2  dan G_1□G_2  adalah graf harmonis ganjil kuat. Kelas-kelas graf berikut yaitu: K_{2, n} ∘C_k∘ C_l∘ K_{2, m} ; K_{2, n} □□(C_k □(□)) C_l □(□)K_{2, m} ; K_{2, n} ∘C_k □(□)C_l∘ K_{2, m} ; dan K_{2, n}  □(C_k )∘ C_l□ K_{2, m}   dengan  n≥1, m≥1, k, l≡0(mod 4) merupakan graf harmonis ganjil kuat.

Let G be a simple graph with q edges. An odd harmonious labeling on G is an injective function f: V(G)→ {0,1,2,…,2q-1}  such that the induced function f^*:E(G)→{1,3,5,…,2q-1}  where f^* (uv)=f(u)+f(v)  is a bijective function. If the codomain of the function f is { 0,1,2,…,q }  then f is called strongly odd harmonious labeling in G. For example, cycle C_m  and cycle C_n, is a unconnected graphs. For example x∈ V(C_m )  and y∈ V(C_n ). Graph G is formed from C_m  and C_n  by identifying the verteces x and y, is denoted by G = C_m□□(C_n ). For example kl∈E(C_m)) and mn∈E(C_n ). Graph G is formed from C_m  and C_n   by identifying the edges kl and mn, is denoted by G = C_m∘C_n. In this thesis, we prove that cycle C_n  is a strong odd harmonious if n≡0 (mod4). We also have shown that complete bipertite graph K_(2,n)  is a strong odd harmonious for n≥1. We proved that if G_1 and G_2  are strong odd harmonious graphs, then G_1∘G_2  and G_1□G_2  are also strong odd harmonious graph. The following graph classes: K_{2, n} ∘C_k∘ C_l∘ K_{2, m} ; K_{2, n} □□(□(□(C_k □(□(□)) ) C_l □(□(□(□(□)) ) ) K_{2, m}  )) ; K_{2, n} ∘C_k □(□(□(□(□)) ) ) C_l∘ K_{2, m} ; dan K_{2, n}  □(□□(C_k )) ∘ C_l □(□(□)) K_{2, m}   for n≥1, m≥1, k, l≡0(mod 4)  are strong odd harmonious graphs.