Modular Chromatic Numbers of Some Classes of Planar Graphs

Misalkan G graf tanpa titik terasing. Titik v pada graf G, N(v) merupakan persekitaran titik v. Jumlah warna σ(v) pada v di G didefinisikan sebagai jumlah warna di N(v), yaitu σ(v) = P x∈N(v) w(x)(mod k). Pewarnaan modular pada G adalah sebuah fungsi w : V(G) → Z_k , dengan k ≥ 2 dimana σ(u) , σ(v) dalam Z_k untuk semua pasang titik u dan v yang berhubungan langsung pada G. Bilangan kromatik modular G adalah minimum k dimana ada pewarnaan-k modular pada G yang dilambangkan dengan mc(G). Pada penelitian ini dijelaskan tentang batas atas dan batas bawah dari bilangan kromatik modular suatu graf dan bilangan kromatik modular pada beberapa kelas graf planar yaitu graf Sikel Cn, graf Pohon Tn, graf Roda Wn dan join dua graf Pn+K2.

Kata kunci: Pewarnaan modular, Bilangan kromatik modular, Graf Pohon, Graf Sikel, Graf Roda

Suppose G is a graph without isolated vertex. Vertex v in graph G, N(v) is the neighborhood of vertex v. The number of colors σ(v) on v in G is defined as the number of colors in N(v), that is σ(v) = P x∈N(v) w(x)(mod k). The modular coloring of G is a function w : V(G) → Zk , with k ≥ 2 such that σ(u) , σ(v) in Zk for all pairs of directly connected vertex u and v in G. The modular chromatic number of G is the minimum k for which there exists a modular k-coloring of G denoted by mc(G). In this research, the upper and lower bounds of the modular chromatic number of a graph and the modular chromatic number of several classes of planar graphs, namely Cycle Graph Cn, Tree Graph Tn, Wheel Graph Wn, and the join of two graphs Pn + K2 are explained.

Keywords: Modular coloring, Modular chromatic number, Tree Graph, Cycle Graph, Wheel Graph