Scaffolding Berpikir Kombinatorial Siswa SMA dalam Menyelesaikan Masalah Kombinatorika

Scaffolding of High School Students' Combinatorial Thinking in Solving Combinatorics Problems

Berpikir kombinatorial adalah kegiatan mental yang dilakukan seseorang dalam menyelesaikan masalah kombinatorika dan terdiri dari beberapa tahapan. Kombinatorika adalah cabang matematika yang membahas tentang kaidah-kaidah pencacahan dan memiliki pengaruh besar terhadap cabang matematika lain, ilmu pengetahuan lain dan perkembangan teknologi. Urgensi ini tidak didukung dengan keberhasilan siswa dalam menguasai topik kombinatorika yang ditunjukan oleh beberapa kesalahan siswa dalam menyelesaikan masalah kombinatorika. Salah satu upaya untuk mengatasi masalah tersebut adalah dengan memberikan bantuan berupa scaffolding. 

Penelitian kualiatif ini bertujuan untuk mendeskripsikan proses berpikir kombinatorial dan mendeskripsikan scaffolding pada kesalahan berpikir kombinatorial siswa yang melibatkan enam siswa SMA kelas 12 sebagai subjek penelitian. Pemilihan subjek dilakukan dengan menggunakan teknik sampling kriteria dan variasi maksimum berdasarkan hasil penyelesaian Tugas Berpikir Kombinatorial Awal yang terdiri dari dua soal. Enam subjek tersebut dikelompokan dalam tiga kategori yang terdiri dari dua subjek yang menjawab kedua soal dengan benar, dua subjek yang menjawab salah satu soal dengan benar, dan dua subjek yang menjawab kedua soal dengan benar. Data proses berpikir kombinatorial siswa diperoleh melalui wawancara berbasis tugas dan think-aloud. Tugas yang digunakan adalah Tugas Berpikir Kombinatorial Inti yang setara dengan Tugas Berpikir Kombinatorial Awal. Proses berpikir kombinatorial akan dianalisis berdasarkan model berpikir kombinatorial yang meliputi counting process, set of outcomes, dan formula/expression. Sementara, Data scaffolding diperoleh dengan pemberian scaffolding kepada empat subjek yang mengalami kesalahan. Keabsahan data dijamin dengan triangulasi subjek dan triangulasi metode.

Hasil penelitian menunjukan bahwa proses berpikir kombinatorial siswa meliputi siswa menentukan konsep yang sesuai, siswa membagi masalah menjadi beberapa kasus, Siswa menggunakan bantuan diagram untuk membantu memvisualisasikan masalah, siswa memunculkan bilangan-bilangan, dan siswa menggunakan aturan penjumlahan atau aturan perkalian untuk mengoperasikan hasil dari setiap kasus. Penelitian ini juga mengungkap bahwa kesalahan berpikir kombinatorial siswa meliputi Kesalahan dalam memunculkan bilangan untuk diisikan pada kotak (filling slot) yang telah dibuat, kesalahan dalam menyebutkan kasus-kasus secara tidak lengkap, dan Kesalahan menggunakan aturan dalam kaidah pencacahan. Bantuan yang diberikan kepada subjek terdiri dari dua yaitu scaffolding utama dan scaffolding pendukung. Scaffolding utama diberikan untuk setiap kesalahan yang dialami oleh siswa. Sementara pemberian scaffolding pendukung berbeda-beda bergantung pada kesalahan yang dialami. Scaffolding utama adalah prompting and probing dan penjelasan-justifikasi siswa. Kesalahan dalam memunculkan bilangan dibantu dengan beberapa scaffolding pendukung yang meliputi negosiasi makna, dan mengembangkan alat representatif. Kesalahan dalam menyebutkan kasus-kasus secara tidak lengkap dibantu dengan menyederhanakan masalah, membangkitkan diskusi konseptual, dan parafrase percakapan siswa. Sementara itu, kesalahan menggunakan aturan dalam kaidah pencacahan dibantu dengan mengidentifikasi konten yang bermakna, pemodelan paralel, dan membuat koneksi. Kesalahan-kesalahan tersebut disebut sebagai kesalahan berpikir kombiatorial. Prompting and probing dan justifikasi-penjelasan siswa disarankan untuk digunakan untuk membantu siswa yang mengalami kesalahan dalam menyelesaikan masalah kombinatorika. Pembelajaran topik kombinatorika hendaknya bukan hanya berorientasi pada rumus tetapi perlu penalaran terkait bilangan apa saja yang digunakan pada rumus tersebut dan bagaimana rasionalitas dari merepresentasikan bilangan tersebut agar tidak terjadi kesalahan.

Combinatorial thinking is a mental activity performed by someone in solving combinatorics problems and consists of several stages. Combinatorics is a branch of mathematics that deals with counting rules and has a major influence on other branches of mathematics, other sciences and technological developments. This urgency is not supported by the success of students in mastering combinatorics topics which are indicated by some of the students' mistakes in solving combinatorics problems. One effort to overcome this problem is to provide assistance in the form of scaffolding.

This qualitative study aims to describe the combinatorial thinking process and describe the scaffolding of students' combinatorial thinking errors involving six 12th grade high school students as research subjects. Subject selection was carried out using a criteria sampling technique and maximum variation sampling technique based on the results of their completion of Initial Combinatorial Thinking Task which consisted of two questions. The six subjects were grouped into three categories consisting of two subjects who answered both questions correctly, two subjects who answered one of the questions correctly, and two subjects who answered both questions correctly. Data on students' combinatorial thinking processes were obtained through task-based and think-aloud interviews. The assignments used are Core Combinatorial Thinking Assignments which are equivalent to Preliminary Combinatorial Thinking Assignments. The combinatorial thinking process will be analyzed based on the combinatorial thinking model which includes counting processes, sets of outcomes, and formulas/expressions. Meanwhile, scaffolding data was obtained by giving scaffolding to four subjects who had errors. Data validity is guaranteed by subject and method triangulation.

The results showed that students' combinatorial thinking processes included students determining appropriate concepts, students dividing problems into several cases, students using diagrams to help visualize problems, students generating numbers, and students using addition rules or multiplication rules to operate the results of each case. This study also revealed that students' combinatorial thinking errors included errors in generating numbers to fill in the boxes (filling slots), errors in mentioning cases incompletely, and errors in using rules in enumeration rules. The assistance provided to the subject consists of two main scaffolding and supporting scaffolding. The main scaffolding is provided for each error experienced by students. While providing supporting scaffolding varies depending on the error experienced. The main scaffolding is prompting and probing and student explanations. Errors in generating numbers are assisted by some supporting scaffolding which includes negotiating meaning, and developing representative tools. Errors in mentioning cases incompletely are assisted by simplifying problems, generating conceptual discourse, and paraphrasing student conversations. Meanwhile, errors using rules in enumeration rules are assisted by identifying meaningful content, parallel modeling, and making connections. These error was defined as combinatorial thinking error. Prompting and probing and justification-explanation of students are suggested to be used to help students who experience errors in solving combinatorics problems. Learning the topic of combinatorics should not only be formula oriented but also need reasoning regarding what numbers are used in the formula and how the rationality of representing these numbers is to avoid mistakes.